知否 | 1为什么等于0.99999....

作者 | 平章

出品 | 网易科技《知否》栏目组

0.99999...=1

初一看，这个等式貌似不会成立，0.9999....给人的第一感觉该是无限接近于1、但应该比1小。

这其实是一个被反复提起的数学问题，尤其是在中国各大网络社区中。接下来的问题是：这个等式为什么成立？在什么情况下能成立？如何证明它？

首先，我们来看看网上流传的三种证明法。

最简单的三种……

直接来看看这三种证明吧：

1、∵1/3=0.33333...

3X0.33333..=0.99999...

3X1/3=1

∴0.99999...=1

2、令0.99999...为A

10A=10X0.99999...=9.9999...

两边都减去一个A

9A=9.99999...-0.99999...

可以得出：9A=9

两边除以9得出：A=1

∴0.99999...=1

3、0.99999...=0.9+0.09+0.009+0.0009……

很明显，右侧是一个求和的无穷递降等比数列。

回忆一下等比数列求和公式：Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

而当n趋向于无穷大时，求和公式S=a1/(1-q)

∴0.99999...=0.9/（1-0.1）=0.9/0.9=1

当然，这三种方式都不严谨，只是为了便于让大家理解。例如，第二种方式就是大卫·福斯特·华莱士在他的 《Everything and More》一书中给出的。

这个方法迅速被打脸。数学家威廉姆斯·拜尔在《How Mathematicians Think》中评价这个证明：“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把0.999... 看作一个过程，但是1是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性？他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。

至于靠谱的证明法，由于实在是超纲太多，我就不一一说了（我会告诉你，那些证明过程我看了很懵、完全木有看懂吗？）

不过说起来，第三个方法中其实已经用到了极限，所以要理解这个等式，需要先了解下极限。

什么是极限？

百度百科的解释，“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

请注意：“取等于A已经足够取得高精度计算结果”。

所以，按照极限的定义，0.99999..这个无限小数的极限应该就是1。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：